Тригонометрия Примеры

$5 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) = 8$

Этап 1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$5 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 8 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 8 = - 40$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cos (x)$ .

$5 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 8 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $6$ как $- 4$ плюс $10$

$5 \cos^{2} (x) + (- 4 + 10) \cos (x) - 8 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 10 \cos (x) - 8 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$5 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 10 \cos (x) - 8 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (5 \cos (x) - 4) + 2 (5 \cos (x) - 4) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 \cos (x) - 4$ .

$(5 \cos (x) - 4) (\cos (x) + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 \cos (x) - 4 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $5 \cos (x) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $5 \cos (x) - 4$ к $0$ .

$5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $5 \cos (x) - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 \cos (x) = 4$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $5 \cos (x) = 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $5 \cos (x) = 4$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{4}{5}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{4}{5})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{4}{5})$ .

$x = 0.6435011$

Этап 4.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6435011$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6435011$

Этап 4.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.6435011$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6435011$

Этап 4.2.6.2.2

Вычтем $0.6435011$ из $6.2831853$ .

$x = 5.63968419$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6435011 + 2 π n, 5.63968419 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (x) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x) + 2$ к $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 2$

Этап 5.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 \cos (x) - 4) (\cos (x) + 2) = 0$ верно.

$x = 0.6435011 + 2 π n, 5.63968419 + 2 π n$ , для любого целого $n$