Тригонометрия Примеры

$4 \cot (x) = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $4 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Этап 1.1.2

Объединим $4$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\cot (x) \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin^{2} (x)$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \sin (x)$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$4 \cos (x) = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 5

Умножим $\sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)$

Этап 5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cos (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6

Вычтем $\sin^{2} (x) \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 7

Разложим $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $4 \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (4 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) (2^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 7.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = \sin (x)$ .

$\cos (x) ((2 + \sin (x)) (2 - \sin (x))) = 0$

Этап 7.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 + \sin (x) = 0$

$2 - \sin (x) = 0$

Этап 9

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 9.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 9.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Приравняем $2 + \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 + \sin (x)$ к $0$ .

$2 + \sin (x) = 0$

Этап 10.2

Решим $2 + \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 2$

Этап 10.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$