Тригонометрия Примеры

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 2 \sqrt{3}$

Этап 1

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{x}{2}) = 2 \sqrt{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{x}{2}) = 2 \sqrt{3}$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Этап 1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{3})$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = 2 \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.2.1.4

Умножим $2 \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Этап 7.2.2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 9

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$