Тригонометрия Примеры

$5 x = \sqrt{10 + 15 x}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{10 + 15 x} = 5 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{10 + 15 x}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10 + 15 x}$ в виде ${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(10 + 15 x)}^{1} = {(5 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$10 + 15 x = {(5 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(5 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

$10 + 15 x = 5^{2} x^{2}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$10 + 15 x = 25 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $25 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$10 + 15 x - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $10 + 15 x - 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $10$ .

$15 x - 25 x^{2} + 10 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $15 x$ и $- 25 x^{2}$ .

$- 25 x^{2} + 15 x + 10 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 5$ из $- 25 x^{2}$ .

$- 5 (5 x^{2}) + 15 x + 10 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 5$ из $15 x$ .

$- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x) + 10 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 5$ из $10$ .

$- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x)$ .

$- 5 (5 x^{2} - 3 x) - 5 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (5 x^{2} - 3 x) - 5 (- 2)$ .

$- 5 (5 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$- 5 (5 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $2$ плюс $- 5$

$- 5 (5 x^{2} + (2 - 5) x - 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (5 x^{2} + 2 x - 5 x - 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 5 ((5 x^{2} + 2 x) - 5 x - 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 5 (x (5 x + 2) - (5 x + 2)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 2$ .

$- 5 ((5 x + 2) (x - 1)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 5 (5 x + 2) (x - 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $5 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $5 x + 2$ к $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $5 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 2$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 4.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 5 (5 x + 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{5}, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $5 x = \sqrt{10 + 15 x}$ истинным.

$x = 1$