Тригонометрия Примеры

$y = 3 \cos (2 (x + \frac{π}{3}))$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 3$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3

Найдем период $3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 π}{3}$ в числитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.4.4

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{3}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{3}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})$

Этап 6.1.2.2.2

Добавим $- 2 π$ и $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{0}{3})$

Этап 6.1.2.2.3

Разделим $0$ на $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cdot 1$

Этап 6.1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 3$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = - \frac{π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{12}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{12}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})$

Этап 6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})$

Этап 6.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})$

Этап 6.2.2.5.2

Добавим $- π$ и $4 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{6})$

Этап 6.2.2.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Этап 6.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cdot 0$

Этап 6.2.2.8

Умножим $3$ на $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

Этап 6.2.2.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})$

Этап 6.3.2.3

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{π}{6}) = 3 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.7

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.7.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.4.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})$

Этап 6.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})$

Этап 6.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})$

Этап 6.4.2.5.2

Добавим $5 π$ и $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{9 π}{6})$

Этап 6.4.2.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Этап 6.4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Этап 6.4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cdot 0$

Этап 6.4.2.9

Умножим $3$ на $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

Этап 6.4.2.10

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.5.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

Этап 6.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})$

Этап 6.5.2.3

Добавим $4 π$ и $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

Этап 6.5.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Этап 6.5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Этап 6.5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (0)$

Этап 6.5.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cdot 1$

Этап 6.5.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3$

Этап 6.5.2.8

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 3 \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 3 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 3 \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 3 \end{array}$

Этап 8