Тригонометрия Примеры

$\tan (x) - 2 \tan (x) \sin (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \tan (x) \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Этап 1.1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Этап 1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Этап 1.1.5

Умножим $- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.5.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.3

Разделим дроби.

$\tan (x) - (\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Этап 1.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Этап 1.2.5

Разделим $2 (\sin (x))$ на $1$ .

$\tan (x) - (2 (\sin (x)) \tan (x)) = 0$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\tan (x) - 2 \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) - 2 \sin (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{1} (x)$ .

$\tan (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- 2 \sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- 2 \sin (x))$ .

$\tan (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $1 - 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$