Тригонометрия Примеры

$\tan (x) = \csc (2 x) - \cot (2 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x) - \cot (2 x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\csc (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} - \cot (2 x)$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\sin (2 x)} + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 6

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (2 x)} + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (2 x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.3

Объединим $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 8.6.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \sin (x)}$

Этап 8.7

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{2 \sin (x)}$

Этап 9

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 10

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $\frac{1}{2 \sin (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} = - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 10.2

Добавим $\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим $\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (x) + \frac{- 1 + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11.1.1.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\sin (x) + \frac{0 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11.1.1.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $0$ .

$\sin (x) + \frac{- 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 (\sin (x))} = 0$

Этап 11.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 \sin (x)} = 0$

Этап 11.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 11.1.2.2

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

Этап 11.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Этап 11.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Этап 11.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

Этап 11.1.2.2.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

Этап 11.1.3

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Этап 12

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$