Тригонометрия Примеры

$x - \sqrt{4 x - 3} = 4$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{4 x - 3} = 4 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{4 x - 3})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x - 3}$ в виде ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x - 3)}^{1} = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$4 x - 3 = {(4 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(4 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(4 - x)}^{2}$ в виде $(4 - x) (4 - x)$ .

$4 x - 3 = (4 - x) (4 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(4 - x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 3 = 4 (4 - x) - x (4 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 3 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 3 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x - 3 = 16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x - 3 = 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x - 3 = 16 - 8 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 - 8 x + x^{2} = 4 x - 3$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$16 - 8 x + x^{2} - 4 x = - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 8 x$ .

$16 + x^{2} - 12 x = - 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$16 + x^{2} - 12 x + 3 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $16$ и $3$ .

$x^{2} - 12 x + 19 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 12$ и $c = 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $19$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $76$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{17}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 6 + \sqrt{17}, 6 - \sqrt{17}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{4 x - 3} = 4$ истинным.

$x = 6 + \sqrt{17}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 6 + \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$x = 10.12310562 \dots$