Тригонометрия Примеры

$x = \sqrt{20 - 2 x} - 2$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{20 - 2 x} - 2 = x$

Этап 2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{20 - 2 x} = x + 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{20 - 2 x}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{20 - 2 x}$ в виде ${(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(20 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(20 - 2 x)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$20 - 2 x = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$20 - 2 x = (x + 2) (x + 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 - 2 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 - 2 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 - 2 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$20 - 2 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$20 - 2 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$20 - 2 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$20 - 2 x = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 = 20 - 2 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x = 20$

Этап 5.2.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 6 x + 4 = 20$

Этап 5.3

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x + 4 - 20 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $20$ из $4$ .

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} + 6 x - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $6$ .

$- 2, 8$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.8

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 2, - 8$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $x = \sqrt{20 - 2 x} - 2$ истинным.

$x = 2$