Тригонометрия Примеры

$\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4}) = \csc (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$

Этап 2

Упростим $\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{5 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{3 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Этап 2.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4 - 3 π \cdot 3}{12})$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 3 π \cdot 3}{12})$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 9 π}{12})$

Этап 2.5.3

Вычтем $9 π$ из $20 π$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{11 π}{12})$

Этап 2.6

Точное значение $\sec (\frac{11 π}{12})$ : $- \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{12})$

Этап 2.6.2

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2.6.3

Применим формулу для разности углов.

$\csc (x) = - \frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.4

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.5

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.6

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.7

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.8

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.9

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.10

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6.11

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12

Упростим $- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.1.2

Объединим $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.1.3

Объединим $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.5

Объединим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

Этап 2.6.12.2.6

Объединим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.7

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.8.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Этап 2.6.12.2.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Этап 2.6.12.2.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Этап 2.6.12.2.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Этап 2.6.12.2.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.2.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.10

Чтобы записать $2 \sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.11

Объединим $2 \sqrt{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.2.13

Умножим $3$ на $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{6}$ под одним знаком корня.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.5.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.5.7

Объединим $8$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 2.6.12.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Этап 2.6.12.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.7.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Этап 2.6.12.7.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Этап 2.6.12.8

Объединим $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ и $8$ .

$\csc (x) = - (\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Этап 2.6.12.9

Объединим $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ и $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Этап 2.6.12.10

Сократим общий множитель $8$ и $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.10.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Этап 2.6.12.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

Этап 2.6.12.10.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

Этап 2.6.12.10.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Этап 2.6.12.10.2.4

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Этап 2.6.12.10.2.5

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Этап 2.6.12.11

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ на $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}})$

Этап 2.6.12.12

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ на $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Этап 2.6.12.13

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.6.12.14

Упростим.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

Этап 2.6.12.15

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.15.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

Этап 2.6.12.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Этап 2.6.12.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Этап 2.6.12.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

Этап 2.6.12.16

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Этап 2.6.12.17

Умножим $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.17.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Этап 2.6.12.17.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Этап 2.6.12.18

Умножим $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.18.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Этап 2.6.12.18.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

Этап 2.6.12.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.19.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.19.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

Этап 2.6.12.19.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 2.6.12.19.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.6.12.19.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.6.12.20

Сократим общий множитель $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.20.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.6.12.20.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.6.12.20.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.6.12.20.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.20.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

Этап 2.6.12.20.4.2

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 2.6.12.20.4.3

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

Этап 2.6.12.20.4.4

Разделим $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (x) = - (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Этап 2.6.12.21

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) = - \sqrt{6} - - \sqrt{2}$

Этап 2.6.12.22

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.22.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}$

Этап 2.6.12.22.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + \sqrt{2}$

Этап 3

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\csc (x) = - 1.03527618$

Этап 4

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 1.03527618)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $arccsc (- 1.03527618)$ .

$x = - \frac{5 π}{12}$

Этап 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π - 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{17 π}{12}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{17 π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{5 π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{12} + 2 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{24 π - 5 π}{12}$

Этап 9.4.2

Вычтем $5 π$ из $24 π$ .

$\frac{19 π}{12}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{19 π}{12}$

Этап 10

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$