Тригонометрия Примеры

$\sec (π x) = 2$

Этап 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$π x = arcsec (2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$π x = \frac{π}{3}$

Этап 3

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$π x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$π x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$π x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$π x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $π x = \frac{5 π}{3}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $π x = \frac{5 π}{3}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{π \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5}{3}$

Этап 6

Найдем период $\sec (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 6.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 6.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7

Период функции $\sec (π x)$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{1}{3} + 2 n, \frac{5}{3} + 2 n$ , для любого целого $n$