Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}} = \sin (\frac{x}{2})$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}}^{2} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ в виде ${(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{1 - \cos (x)}{2})}^{1} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$\frac{1 - \cos (x)}{2} = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1 - \cos (x)}{2} - \sin^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1 - \cos (x)}{2} - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы записать $- \sin^{2} (\frac{x}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{2} - \sin^{2} (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Этап 4.2.2

Объединим $- \sin^{2} (\frac{x}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{2} + \frac{- \sin^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Перенесем $- 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - \cos (x)}{2} = 0$

Этап 4.2.4.3

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\frac{\cos (2 \frac{x}{2}) - \cos (x)}{2} = 0$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (2 \frac{x}{2}) - \cos (x)}{2} = 0$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{2} = 0$

Этап 4.2.4.5

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{0}{2} = 0$

Этап 4.2.5

Разделим $0$ на $2$ .

$0 = 0$

Этап 4.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$