Тригонометрия Примеры

$\log (3 x - 1) + \log (x + 2) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x - 1) (x + 2)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(3 x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (3 x (x + 2) - 1 (x + 2)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\log (3 x^{2} + 6 x - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log (3 x^{2} + 6 x - x - 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\log (3 x^{2} + 6 x - x - 2) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $6 x$ .

$\log (3 x^{2} + 5 x - 2) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (3 x^{2} + 5 x - 2) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + 5 x - 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 x^{2} + 5 x - 2 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} + 5 x - 2 = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 5 x - 2 - 10 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из $- 2$ .

$3 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$3 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 3.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (3 x - 1) + \log (x + 2) = 1$ истинным.

$x = \frac{4}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$x = 1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{3}$