Тригонометрия Примеры

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{3}) = 6$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Этап 4.2

Вычтем $e^{6}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $e^{6}$ в виде ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Этап 4.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Этап 4.3.3.2

Изменим порядок членов.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - e^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - e^{2}$ к $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $e^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = e^{2}$

Этап 4.6

Приравняем $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ к $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Этап 4.6.2

Решим $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = e^{2}$ и $c = e^{4}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{2}$ и $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3.2

Добавим $e^{2}$ и $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.4

Вычтем $2 e^{2}$ из $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5.2

Умножим $e^{2}$ на $e^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.5.2.1

Перенесем $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6

Перепишем $- 3 e^{4}$ в виде ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.6.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6.3

Перепишем $e^{4}$ в виде ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6.4

Перенесем $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6.5

Перепишем $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ в виде ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ верно.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$