Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) = 4 \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $4 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 2 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 2$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 2$

Этап 6.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (\cos (x) - 2) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$