Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ , $0 < x < 2 π$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 (π + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Этап 7.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Этап 7.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Этап 7.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Этап 8

Найдем период $\tan (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\tan (\frac{x}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Этап 11.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 11.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$