Тригонометрия Примеры

$\cot (x) = \sqrt{3}$ , $(0, 2 π)$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 4

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 4.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 8.1.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 8.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Этап 8.2.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Этап 8.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $π$ и $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Этап 8.2.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$