Тригонометрия Примеры

$z = - 1 - i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 1$ и $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 1}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{2}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{- 1})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 1}{- 1}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{4}$ и $| z | = \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$