Тригонометрия Примеры

$z = 5 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = 5$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Этап 4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 5$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{5}{0})$

Этап 6

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{π}{2}$ и $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 5 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$