Тригонометрия Примеры

$z = 6 + 2 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 6$ и $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + 6^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 6^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 36}$

Этап 4.3

Добавим $4$ и $36$ .

$| z | = \sqrt{40}$

Этап 4.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$| z | = \sqrt{4 (10)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 2 \sqrt{10}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{2}{6})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{2}{6}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0.32175055$ .

$θ = 0.32175055$

Этап 7

Подставим значения $θ = 0.32175055$ и $| z | = 2 \sqrt{10}$ .

$2 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 2 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$