Тригонометрия Примеры

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $4 y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Этап 1.2

Подставим $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ вместо $4 y^{2} - 8 y$ в уравнение $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Этап 1.3

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Этап 1.4

Составим полный квадрат для $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Этап 1.4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Этап 1.4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{50}{- 25}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель $50$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Этап 1.4.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Этап 1.4.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Этап 1.4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Этап 1.4.4.2.2

Добавим $0$ и $100$ .

$e = 100$

Этап 1.4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Этап 1.5

Подставим $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ вместо $- 25 x^{2} + 100 x$ в уравнение $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Этап 1.6

Перенесем $100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Этап 1.7

Упростим $196 + 4 - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $196$ и $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Этап 1.7.2

Вычтем $100$ из $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Этап 1.8

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Этап 5.2

Упростим $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Этап 5.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Этап 5.2.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Этап 5.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 6.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Этап 6.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Этап 6.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Этап 6.2.1.6

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Этап 6.2.2

Добавим $5$ и $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{2} - 4$ и $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Этап 9