Тригонометрия Примеры

$- 0.5 = 3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$ .

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sin (\frac{x}{3})$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = - 0.5 + 2$

Этап 2.2

Добавим $- 0.5$ и $2$ .

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$

Этап 3

Разделим каждый член $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ на $3$ .

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (\frac{x}{3})$ на $1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = \frac{1.5}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $1.5$ на $3$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = 0.5$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (\frac{x}{3}) = \pm \sqrt{0.5}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}, - \sqrt{0.5}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\sqrt{0.5})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arcsin (\sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Этап 7.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Этап 7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Этап 7.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Этап 7.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Этап 7.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (π - \frac{π}{4})$

Этап 7.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1

Упростим $3 (π - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 7.6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 7.6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 3 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 7.6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = 3 \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 7.6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{4}$

Этап 7.6.2.2.1.4

Умножим $3 \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1.4.1

Объединим $3$ и $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{4}$

Этап 7.6.2.2.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Этап 7.7

Найдем период $\sin (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 7.7.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 7.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 7.7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 7.8

Период функции $\sin (\frac{x}{3})$ равен $6 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \sqrt{0.5})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{4}$

Этап 8.3

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Этап 8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (- \frac{π}{4})$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $3 (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Умножим $3 (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{4}$

Этап 8.4.2.1.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{- 3 π}{4}$

Этап 8.4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 8.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 8.6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{4}$

Этап 8.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Этап 8.6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Этап 8.6.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{5 π}{4}$

Этап 8.6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.2.1

Умножим $3 \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{4}$

Этап 8.6.3.2.2.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Этап 8.7

Найдем период $\sin (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 8.7.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 8.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 8.7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 8.8

Добавим $6 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Добавим $6 π$ к $- \frac{3 π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{3 π}{4} + 6 π$

Этап 8.8.2

Чтобы записать $6 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$6 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Объединим $6 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 8.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.4.1

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{24 π - 3 π}{4}$

Этап 8.8.4.2

Вычтем $3 π$ из $24 π$ .

$\frac{21 π}{4}$

Этап 8.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{21 π}{4}$

Этап 8.9

$x = \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , для любого целого $n$