Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2

Заменим $4 \sin^{2} (x)$ на $4 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Этап 5

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Этап 6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7

Подставим значения $a = - 4$ , $b = - 2$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $16$ на $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.3

Добавим $4$ и $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Этап 8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Этап 9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Этап 10

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Этап 13.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Этап 13.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Этап 13.4.2.2

Вычтем $0.86138422$ из $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Этап 13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , для любого целого $n$