Тригонометрия Примеры

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Этап 1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $- 4 \cos (2 x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Этап 2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Этап 2.1.3

Добавим круглые скобки.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Этап 4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x \leq \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 x \leq \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 x \leq \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Этап 5.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.6.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.6.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 5.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 5.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.6.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.7

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 5.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 5.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.8

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Этап 5.11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.11.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Этап 5.11.1.3

Левая часть $0.65364362$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.11.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Этап 5.11.2.3

Левая часть $- 0.96017028$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Истина

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Истина

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

Этап 5.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Этап 7