Тригонометрия Примеры

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ . Следовательно, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ равно $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.4.2

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ на $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 7

Развернем $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ и $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.1.2

Добавим $- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ и $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.3

Умножим $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.3.2

Возведем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4

Перепишем ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ в виде $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в виде ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.4.5

Упростим.

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.5

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.6.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.7.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.2.9

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Добавим $0$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 9

Перепишем $\frac{3^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{3}{x})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Этап 12.2

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Этап 13

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Этап 14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Этап 14.2

Возведем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Этап 14.3

Возведем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

Этап 14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

Этап 14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

Этап 14.6

Перепишем ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ в виде $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в виде ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

Этап 14.6.5

Упростим.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$