Тригонометрия Примеры

$\sin (\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arctan (\sqrt{3}))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4} + \arctan (\sqrt{3}))$

Этап 1.2

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

Этап 6.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

Этап 6.3

Добавим $3 π$ и $4 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 7

Точное значение $\sin (\frac{7 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Этап 7.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 7.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 7.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Этап 7.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 7.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 7.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 7.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 7.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 7.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 7.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 7.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Этап 7.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Этап 7.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 7.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Десятичная форма:

$0.96592582 \dots$