Тригонометрия Примеры

$\frac{x + 32}{x^{2} + 24 x + 128}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 24 x + 128$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $128$ , а сумма — $24$ .

$8, 16$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 32}{(x + 8) (x + 16)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 8}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 8) (x + 16)$ .

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.6.2

Разделим $x + 32$ на $1$ .

$x + 32 = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 32 = \frac{A (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 16)$ на $1$ .

$x + 32 = (A) (x + 16) + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 32 = A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7.3

Перенесем $16$ влево от $A$ .

$x + 32 = A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 32 = A x + 16 A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (x + 8)$ на $1$ .

$x + 32 = A x + 16 A + (B) (x + 8)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 32 = A x + 16 A + B x + B \cdot 8$

Этап 1.7.6

Перенесем $8$ влево от $B$ .

$x + 32 = A x + 16 A + B x + 8 B$

Этап 1.8

Перенесем $16 A$ .

$x + 32 = A x + B x + 16 A + 8 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$32 = 16 A + 8 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$32 = 16 A + 8 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $32 = 16 A + 8 B$ на $1 - B$ .

$32 = 16 (1 - B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $16 (1 - B) + 8 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$32 = 16 \cdot 1 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $16$ на $1$ .

$32 = 16 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 16 B$ и $8 B$ .

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $32 = 16 - 8 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $16 - 8 B = 32$ .

$16 - 8 B = 32$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 8 B = 32 - 16$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $16$ из $32$ .

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 8 B = 16$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 8 B = 16$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $16$ на $- 8$ .

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- 2$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = - 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{x + 8} + \frac{- 2}{x + 16}$