Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Этап 2.6

Объединим решения.

$\sin (x) = - 1, 1$

Этап 2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Этап 2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.8.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.9.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.9.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.9.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.9.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.9.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.9.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.12

Найдем область определения $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - \sin (x) = 0$

Этап 2.12.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 2.12.2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.12.2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 2.12.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 2.12.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.12.2.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.12.2.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.12.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.12.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.12.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.12.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.12.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.12.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.12.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.12.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.12.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.12.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 2.14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.14.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Этап 2.14.1.3

Левая часть $1.32861403$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.14.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.14.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Этап 2.14.2.3

Левая часть $0.56321382$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.14.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

Этап 2.15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ или $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.16

Объединим интервалы.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - \sin (x) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 4.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 4.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , для любого целого $n$

Этап 6