Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{5 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.6

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.2

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8

Точное значение $\sin (\frac{5 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.10

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.10.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Этап 2.2

Добавим $3 \sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{8}$

Этап 2.3

Добавим $- \sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Этап 2.4

Добавим $4 \sqrt{2}$ и $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$