Тригонометрия Примеры

$\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{5}{x})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{5}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{5}{x})$ . Следовательно, $\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{2}}}}$

Этап 2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{25}{x^{2}}}}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}}}$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + 25$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2}}}}$

Этап 2.5.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}}}$

Этап 2.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)}}$

Этап 2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 2.7

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{x^{2} + 25}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{x}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 4

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ на $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 5

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt{x^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 6.3

Возведем $\sqrt{x^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 25}}^{1}}$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}}$

Этап 6.6

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}$ в виде $x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 25}$ в виде ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{1}}$

Этап 6.6.5

Упростим.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{x^{2} + 25}$