Тригонометрия Примеры

$\cot (\arcsin (\frac{a}{b}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, \frac{a}{b})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{a}{b})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, \frac{a}{b})$ . Следовательно, $\cot (\arcsin (\frac{a}{b}))$ равно $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}}}{\frac{a}{b}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}}}{\frac{a}{b}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}} \frac{b}{a}$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}} \frac{b}{a}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{a}{b}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{a}{b}) (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{b}{b} + \frac{a}{b}) (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Этап 5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} (\frac{b}{b} - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} \cdot \frac{b - a}{b}} \frac{b}{a}$

Этап 5.5

Умножим $\frac{b + a}{b}$ на $\frac{b - a}{b}$ .

$\sqrt{\frac{(b + a) (b - a)}{b \cdot b}} \frac{b}{a}$

Этап 5.6

Умножим $b$ на $b$ .

$\sqrt{\frac{(b + a) (b - a)}{b^{2}}} \frac{b}{a}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(b + a) (b - a)}{b^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{b})}^{2} ((b + a) (b - a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(b + a) (b - a)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2}}} \frac{b}{a}$

Этап 6.2

Вынесем полную степень $b^{2}$ из $b^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2} \cdot 1}} \frac{b}{a}$

Этап 6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{b})}^{2} ((b + a) (b - a))} \frac{b}{a}$

Этап 7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{b} \sqrt{(b + a) (b - a)} \frac{b}{a}$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{b}$ и $\sqrt{(b + a) (b - a)}$ .

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{b} \cdot \frac{b}{a}$

Этап 9

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{b} \cdot \frac{b}{a}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(b + a) (b - a)} \frac{1}{a}$

Этап 10

Объединим $\sqrt{(b + a) (b - a)}$ и $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{a}$