Тригонометрия Примеры

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках ${\displaystyle (\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1^2},1)}$, ${\displaystyle (\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1^2},0)}$ и начале координат. Тогда ${\displaystyle \mathrm{arccsc}\left(\frac{x}{2}\right)}$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку ${\displaystyle (\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1^2},1)}$. Следовательно, ${\displaystyle \cos \left(\mathrm{arccsc}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}$ равно ${\displaystyle \frac{\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1}}{\frac{x}{2}}}$.

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Перепишем ${\displaystyle 1}$ в виде ${\displaystyle 1^2}$.

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$, где ${\displaystyle a=\frac{x}{2}}$ и ${\displaystyle b=1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{x+2}{2}}$ на ${\displaystyle \frac{x-2}{2}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 2}$.

Вынесем члены из-под знака корня.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle \sqrt{(x+2)(x-2)}}$.