Тригонометрия Примеры

$\cos (75) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (75)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cos (30 + 45) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.3

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.5

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (15) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45 - 30) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45 - (30)) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.9.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.10

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.13

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.13.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.13.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.1.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.4.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{16} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \sin (75) \sin (15)$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (75)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{1}{4} - \sin (30 + 45) \sin (15)$

Этап 1.6.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{1}{4} - (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.6.3

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.6.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.6.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.6.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (15)$

Этап 1.6.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (15)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - 30)$

Этап 1.7.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - (30))$

Этап 1.7.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.7.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.7.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.7.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Этап 1.7.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.7.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.7.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.7.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.7.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.7.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 1.7.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 1.7.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 1.8

Умножим $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Этап 1.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Этап 1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) - \sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Этап 1.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Этап 1.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.3

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.6

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.9.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.9.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 1 \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Этап 1.9.2.1.12

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Этап 1.9.2.1.12.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{12}}{16}$

Этап 1.9.2.1.13

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Этап 1.9.2.1.13.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Этап 1.9.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Этап 1.9.2.1.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 1.9.2.2

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{0 + 6 - 2}{16}$

Этап 1.9.2.3

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{1}{4} - \frac{6 - 2}{16}$

Этап 1.9.2.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{1}{4} - \frac{4}{16}$

Этап 1.10

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{4 (1)}{16}$

Этап 1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1}{4}$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 2.2.2

Разделим $0$ на $4$ .

$0$