Тригонометрия Примеры

${(\sqrt{2})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $4$ на $120$ .

$4 (\cos (480) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 2.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (\cos (120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$4 (- \cos (60) + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (4 \cdot 120))$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $120$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (480))$

Этап 2.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Этап 2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Этап 2.8

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2.9

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \frac{1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 (\frac{- 1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 + 2 (2) \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$- 2 + 2 \cdot 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$- 2 + 2 (i \sqrt{3})$

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$