Тригонометрия Примеры

$\cot (3 x) < 0$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$3 x < arccot (0)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x < \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x < \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Этап 4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 5.1.4

Добавим $π \cdot 2$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Найдем период $\cot (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 7

Период функции $\cot (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем область определения $\cot (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим аргумент в $\cot (3 x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Разделим каждый член $3 x = π n$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $3 x = π n$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.26$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0.26$ в исходном неравенстве.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $1.01085502$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\cot (3 (1)) < 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 7.01525255$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.31$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $1.31$ в исходном неравенстве.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.99399967$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Ложь

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{6}$ Ложь

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 13