Тригонометрия Примеры

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Этап 1.4

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ .

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Этап 3.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Этап 3.3

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} - 10 x - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 10 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $5$ из $- 100$ .

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ .

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ .

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x - 20$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Этап 3.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.7

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Добавим $4$ и $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ истинным.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1 + \sqrt{21}$

Десятичная форма:

$x = 5.58257569 \dots$