Тригонометрия Примеры

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3

Каждый член в $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $u$ на $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Этап 4

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем таким образом, чтобы $u$ оказалось в левой части неравенства.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Этап 4.2

Вычтем $u^{2}$ из обеих частей неравенства.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Этап 4.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Этап 4.4

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Изменим порядок членов.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Этап 4.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Этап 4.7

Приравняем $- u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $- u + 1$ к $0$ .

$- u + 1 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $- u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- u = - 1$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $- u = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $- u = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$u = 1$

Этап 4.8

Приравняем $u - \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $u - \sqrt{3}$ к $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$u = \sqrt{3}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ верно.

$u = 1, \sqrt{3}$

Этап 5

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 8.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 8.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 8.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Найдем область определения $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Зададим аргумент в $\cot (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Этап 13.1.3

Левая часть $2.66954475$ меньше правой части $2.7320508$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 2.97772599$ меньше правой части $2.7320508$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Этап 13.3.3

Левая часть $2.65377824$ меньше правой части $2.7320508$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Истина

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Истина

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Истина

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Этап 15

Объединим интервалы.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16