Тригонометрия Примеры

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{5}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ . Следовательно, $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ равно $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 3.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Этап 4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

Этап 4.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{x + 5}{x}$ на $\frac{x - 5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

Этап 4.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

Этап 4.6

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

Этап 4.6.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

Этап 4.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

Этап 4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Этап 5

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим выражение $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

Этап 6.2

Разделим $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ на $1$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Этап 7

Умножим $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Этап 8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Этап 8.2

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Этап 8.3

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

Этап 8.6

Перепишем ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ в виде $(x + 5) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в виде ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

Этап 8.6.5

Упростим.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$