Тригонометрия Примеры

$\cos (- \frac{1}{3}) \cos (x) > 0$

Этап 1

Разделим каждый член $\cos (- \frac{1}{3}) \cos (x) > 0$ на $\cos (- \frac{1}{3})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\cos (- \frac{1}{3}) \cos (x) > 0$ на $\cos (- \frac{1}{3})$ .

$\frac{\cos (- \frac{1}{3}) \cos (x)}{\cos (- \frac{1}{3})} > \frac{0}{\cos (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\cos (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (- \frac{1}{3}) \cos (x)}{\cos (- \frac{1}{3})} > \frac{0}{\cos (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) > \frac{0}{\cos (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$\cos (x) > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\cos (- \frac{1}{3})}$ в $\sec (- \frac{1}{3})$ .

$\cos (x) > \frac{0}{1} \sec (- \frac{1}{3})$

Этап 1.3.3

Разделим $0$ на $1$ .

$\cos (x) > 0 \sec (- \frac{1}{3})$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\sec (- \frac{1}{3})$ .

$\cos (x) > 0 \cdot 1.05824927$

Этап 1.3.5

Умножим $0$ на $1.05824927$ .

$\cos (x) > 0$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x > \arccos (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\cos (- \frac{1}{3}) \cos (3) > 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.93550028$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\cos (- \frac{1}{3}) \cos (6) > 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $0.90731958$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12