Тригонометрия Примеры

$\cos (a) < \sin (a)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (a)$ .

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $\cos (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$1 < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ в $\tan (a)$ .

$1 < \tan (a)$

Этап 4

Перепишем таким образом, чтобы $\tan (a)$ оказалось в левой части неравенства.

$\tan (a) > 1$

Этап 5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из тангенса.

$a > \arctan (1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$a > \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$a = π + \frac{π}{4}$

Этап 8

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 8.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Найдем период $\tan (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10

Период функции $\tan (a)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$a = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 2$

Этап 13.1.2

Заменим $a$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\cos (2) < \sin (2)$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 0.41614683$ меньше правой части $0.90929742$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n < a < \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15