Тригонометрия Примеры

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Этап 1

Разложим $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $\csc^{4} (x)$ в виде ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

Этап 1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \csc^{2} (x)$ и $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ .

$\csc (x) = 0$

Этап 3.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4

Приравняем $\csc^{2} (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\csc^{2} (x) - 2$ к $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\csc^{2} (x) = 2$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Этап 4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Этап 4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Этап 4.2.5

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 4.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Точное значение $arccsc (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 4.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 4.2.5.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 4.2.5.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.5.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Точное значение $arccsc (- \sqrt{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 4.2.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 4.2.6.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 4.2.6.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 4.2.6.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 4.2.6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 4.2.6.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 4.2.6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 4.2.6.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$