Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (2 x) = 3 \cos^{2} (2 x)$

Этап 1

Вычтем $3 \cos^{2} (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (2 x) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Этап 2

Заменим $\sin^{2} (2 x)$ на $1 - \cos^{2} (2 x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (2 x)) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Этап 3

Вычтем $3 \cos^{2} (2 x)$ из $- \cos^{2} (2 x)$ .

$1 - 4 \cos^{2} (2 x) = 0$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$- 4 \cos^{2} (2 x) + 1 = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$

Этап 6

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Этап 7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 8

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 8.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Этап 11.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 11.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 11.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 11.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 11.3.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 11.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 11.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 11.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 11.5.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 11.5.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 11.5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 11.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 11.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 11.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 11.5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Этап 11.5.2.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 11.6

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 11.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 11.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.7

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Этап 12.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 12.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 12.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 12.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 12.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 12.5.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 12.5.1.5

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Этап 12.5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 12.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 12.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 12.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.5.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 12.6

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 12.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 12.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 12.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12.7

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{π}{6} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14.2

Объединим $\frac{5 π}{6} + π n$ и $\frac{π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$