Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 = \sin (4 x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (4 x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x) = 0$

Этап 2

Упростим $2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 (2 x)) - \sin (4 x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (4 x) - \sin (4 x) = 0$

Этап 3

Разделим каждый член уравнения на $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 5

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ в $\tan (4 x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 7

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Этап 8

Разделим дроби.

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)}$

Этап 9

Переведем $\frac{1}{\cos (4 x)}$ в $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (4 x)$

Этап 10

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (4 x) = 0 \sec (4 x)$

Этап 11

Умножим $0$ на $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = 0$

Этап 12

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (4 x) = - 1$

Этап 13

Разделим каждый член $- \tan (4 x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член $- \tan (4 x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (4 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (4 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 13.2.2

Разделим $\tan (4 x)$ на $1$ .

$\tan (4 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (4 x) = 1$

Этап 14

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$4 x = \arctan (1)$

Этап 15

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Этап 16

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 16.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 16.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 16.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 16.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Этап 16.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Этап 17

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 18

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 18.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 18.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 18.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 18.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 18.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Этап 18.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Этап 18.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Этап 18.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 18.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Этап 18.2.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Этап 19

Найдем период $\tan (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 19.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 4 |}$

Этап 19.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 20

Период функции $\tan (4 x)$ равен $\frac{π}{4}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{4}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 21

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$