Тригонометрия Примеры

${(\sqrt{3} - i)}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.5

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.7

Умножим $3$ на $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.8

Умножим $- 1$ на $12$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.10

Умножим $6$ на $3$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.11

Применим правило умножения к $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 (1 i^{2}) + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.13

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.14

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.15

Умножим $18$ на $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.16

Применим правило умножения к $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.17

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.18

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.19

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.20

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- - i) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (1 i) + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.22

Умножим $i$ на $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- i)}^{4}$

Этап 2.1.23

Применим правило умножения к $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Этап 2.1.24

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + 1 i^{4}$

Этап 2.1.25

Умножим $i^{4}$ на $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Этап 2.1.26

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Этап 2.1.26.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Этап 2.1.26.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$- 12 \sqrt{3} i - 9 + 4 \sqrt{3} i + 1$

Этап 2.2.2

Добавим $- 12 \sqrt{3} i$ и $4 \sqrt{3} i$ .

$- 8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $- 9$ и $1$ .

$- 8 \sqrt{3} i - 8$

Этап 2.2.3.2

Изменим порядок $- 8 \sqrt{3} i$ и $- 8$ .

$- 8 - 8 \sqrt{3} i$