Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим круглые скобки.

$\cos (θ) - (\tan (θ) \cos (θ)) = 0$

Этап 1.1.2

Выразим $- \tan (θ) \cos (θ)$ через синусы и косинусы.

$\cos (θ) - (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)) = 0$

Этап 1.1.3

Сократим общие множители.

$\cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 4

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 5

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{\cos (θ)}$

Этап 7

Разделим дроби.

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$1 - \tan (θ) = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Этап 9

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (θ) = 0 \sec (θ)$

Этап 10

Умножим $0$ на $\sec (θ)$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Этап 11

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (θ) = - 1$

Этап 12

Разделим каждый член $- \tan (θ) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим каждый член $- \tan (θ) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 12.2.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Этап 13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 16

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 16.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 17

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 18

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 19

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$