Тригонометрия Примеры

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Этап 1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cot (\frac{19 π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\cot (\frac{19 π}{12})$ : $- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Представим $\frac{19 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cot (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Этап 2.2

Применим обратное тождество.

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})}$

Этап 2.3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5

Упростим $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Этап 2.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}$

Этап 2.5.3.2

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}}$

Этап 2.5.3.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Этап 2.5.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Этап 2.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}}$

Этап 2.5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Этап 2.5.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Этап 2.5.4.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}}$

Этап 2.5.4.3

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}}$

Этап 2.5.4.4

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}}$

Этап 2.5.4.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}}$

Этап 2.5.4.6

Упростим.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}}$

Этап 2.5.4.7

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Этап 2.5.4.8

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Этап 2.5.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Этап 2.5.4.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Этап 2.5.4.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.9.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Этап 2.5.4.9.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Этап 2.5.4.9.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}}$

Этап 2.5.4.9.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}}$

Этап 2.5.4.9.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}}$

Этап 2.5.4.9.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}}$

Этап 2.5.4.9.2

Добавим $4$ и $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}}$

Этап 2.5.4.9.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Десятичная форма:

$- 0.26794919 \dots$