Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sin (θ) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{49 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

Смежный $= \sqrt{49 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Смежный $= \sqrt{49 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Смежный $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

Смежный $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

Смежный $= \sqrt{49 - 5}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

Смежный $= \sqrt{49 - 1 \cdot 5}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

Смежный $= \sqrt{49 - 5}$

Этап 4.4

Вычтем $5$ из $49$ .

Смежный $= \sqrt{44}$

Этап 4.5

Перепишем $44$ в виде $2^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

Смежный $= \sqrt{4 (11)}$

Этап 4.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

Смежный $= \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

Смежный $= 2 \sqrt{11}$

Этап 5

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

Этап 6

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 6.3.2.2

Перенесем $\sqrt{11}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 6.3.2.4

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 6.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 6.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Этап 6.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Этап 6.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{2 \cdot 11}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $5$ на $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{2 \cdot 11}$

Этап 6.3.4

Умножим $2$ на $11$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

Этап 7

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.2.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.2.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 7.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Этап 7.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Этап 7.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 11}}{5}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $5$ на $11$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 8.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $\sqrt{11}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 8.3.2.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 8.3.2.4

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Этап 8.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 8.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Этап 8.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Этап 8.3.3

Умножим $2$ на $11$ .

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{7}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{7}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$