Тригонометрия Примеры

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\csc (θ) = \frac{гипотенуза}{противоположные}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

Смежный $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

Смежный $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Смежный $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Смежный $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

Смежный $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

Смежный $= \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.5

Найдем экспоненту.

Смежный $= \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $4$ на $3$ .

Смежный $= \sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Этап 4.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

Смежный $= \sqrt{12 - 9}$

Этап 4.7

Вычтем $9$ из $12$ .

Смежный $= \sqrt{3}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 5.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 5.3.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 5.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.3.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\sec (θ) = 2$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = 2$

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$