Тригонометрия Примеры

$y = \cos (3 x)$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \cos (3 x)$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (3 x) = 0$ .

$\cos (3 x) = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 1.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.6.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 1.2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.6.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.7

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 1.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.8

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \cos (3 (0))$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \cos (3 (0))$

Этап 2.2.2

Упростим $\cos (3 (0))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$y = \cos (0)$

Этап 2.2.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$y = 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 1)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, 1)$

Этап 4