Тригонометрия Примеры

$z = 2 + 4 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 2$ и $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 2^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4}$

Этап 4.3

Добавим $16$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{20}$

Этап 4.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$| z | = \sqrt{4 (5)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 2 \sqrt{5}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{4}{2})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{4}{2}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $1.10714871$ .

$θ = 1.10714871$

Этап 7

Подставим значения $θ = 1.10714871$ и $| z | = 2 \sqrt{5}$ .

$2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$